• Ãîëëàíäñêèé õóäîæíèê Ìîðèö Êîðíèëèñ Ýøåð, ðîäèâøèéñÿ â 1898 ãîäó â Ëåóâàðäåíå ñîçäàë óíèêàëüíûå è î÷àðîâàòåëüíûå ðàáîòû, â êîòîðûõ èñïîëüçîâàíû èëè ïîêàçàíû øèðîêèé êðóã ìàòåìàòè÷åñêèõ èäåé.

    Êîãäà îí ó÷èëñÿ â øêîëå, ðîäèòåëè ïëàíèðîâàëè, ÷òî îí ñòàíåò àðõèòåêòîðîì, íî ïëîõîå çäîðîâüå íå ïîçâîëèëî Ìîðèöó çàêîí÷èòü îáðàçîâàíèå, è îí ñòàë õóäîæíèêîì. Äî íà÷àëà 50-õ ãîäîâ îí íå áûë øèðîêî èçâåñòåí, íî ïîñëå ðÿäà âûñòàâîê è ñòàòåé â àìåðèêàíñêèõ æóðíàëàõ (Time è äð.) îí ïîëó÷àåò ìèðîâóþ èçâåñòíîñòü. Ñðåäè åãî âîñòîðæåííûõ ïîêëîííèêîâ áûëè è ìàòåìàòèêè, êîòîðûå âèäåëè â åãî ðàáîòàõ îðèãèíàëüíóþ âèçóàëüíóþ èíòåðïðåòàöèþ íåêîòîðûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàêîíîâ. Ýòî áîëåå èíòåðåñíî òåì, ÷òî ñàì Ýøåð íå èìåë ñïåöèàëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ.

     ïðîöåññå ñâîåé ðàáîòû îí ÷åðïàë èäåè èç ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòàòüåé, â êîòîðûõ ðàññêàçûâàëîñü î ìîçàè÷íîì ðàçáèåíèè ïëîñêîñòè, ïðîåöèðîâàíèè òðåõìåðíûõ ôèãóð íà ïëîñêîñòü è íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, î ÷åì áóäåò ðàññêàçûâàòüñÿ íèæå. Îí áûë î÷àðîâàí âñåâîçìîæíûìè ïàðàäîêñàìè è â òîì ÷èñëå "íåâîçìîæíûìè ôèãóðàìè". Ïàðàäîêñàëüíûå èäåè Ðîäæåðà Ïåíðîóçà áûëè èñïîëüçîâàíû âî ìíîãèõ ðàáîòàõ Ýøåðà. Íàèáîëåå èíòåðåñíûìè äëÿ èçó÷åíèÿ èäåÿìè Ýøåðà ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæíûå ðàçáèåíèÿ ïëîñêîñòè è ëîãèêà òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.

    Ðåãóëÿðíîå ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè, íàçûâàåìîå "ìîçàèêîé" - ýòî íàáîð çàìêíóòûõ ôèãóð, êîòîðûìè ìîæíî çàìîñòèòü ïëîñêîñòü áåç ïåðåñå÷åíèé ôèãóð è ùåëåé ìåæäó íèìè. Îáû÷íî â êà÷åñòâå ôèãóðû äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìîçàèêè èñïîëüçóþò ïðîñòûå ìíîãîóãîëüíèêè, íàïðèìåð, êâàäðàòû èëè ïðÿìîóãîëüíèêè. Íî Ýøåð èíòåðåñîâàëñÿ âñåìè âèäàìè ìîçàèê - ðåãóëÿðíûìè è íåðåãóëÿðíûìè (ïðèì. ïåðåâ. íåðåãóëÿðíûå ìîçàèêè îáðàçóþò íåïîâîðÿþùèåñÿ óçîðû) - à òàêæå ââåë ñîáñòâåííûé âèä, êîòîðûé íàçâàë "ìåòàìîðôîçàìè", ãäå ôèãóðû èçìåíÿþòñÿ è âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì, à èíîãäà èçìåíÿþò è ñàìó ïëîñêîñòü.

    Èíòåðåñîâàòüñÿ ìîçàèêàìè Ýøåð íà÷àë â 1936 ãîäó âî âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ ïî Èñïàíèè. Îí ïðîâåë ìíîãî âðåìåíè â Àëüãàìáðå, çàðèñîâûâàÿ àðàáñêèå ìîçàèêè, è âïîñëåäñòâèè ñêàçàë, ÷òî ýòî áûëî äëÿ íåãî "áîãàòåéøèì èñòî÷íèêîì âäîõíîâåíèÿ". Ïîçæå â 1957 ãîäó â ñâîåì ýññå î ìîçàèêàõ Ýøåð íàïèñàë:

     ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàáîòàõ ðåãóëÿðíîå ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè ðàññìàòðèâàåòñÿ òåîðåòè÷åñêè... Çíà÷èò ëè ýòî, ÷òî äàííûé âîïðîñ ÿâëÿåòñÿ ñóãóáî ìàòåìàòè÷åñêèì? Ìàòåìàòèêè îòêðûëè äâåðü âåäóùóþ â äðóãîé ìèð, íî ñàìè âîéòè â ýòîò ìèð íå ðåøèëèñü. Èõ áîëüøå èíòåðåñóåò ïóòü, íà êîòîðîì ñòîèò äâåðü, ÷åì ñàä, ëåæàùèé çà íåé.

    Ìàòåìàòèêè äîêàçàëè, ÷òî äëÿ ðåãóëÿðíîãî ðàçáèåíèÿ ïëîñêîñòè  ïîäõîäÿò òîëüêî òðè ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà: òðåóãîëüíèê, êâàäðàò è øåñòèóãîëüíèê. (Íåðåãóëÿðíûõ âàðèàíòîâ ðàçáèåíèÿ ïëîñêîñòè ãîðàçäî áîëüøå.  ÷àñòíîñòè â ìîçàèêàõ èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ íåðåãóëÿðíûå ìîçàèêè, â îñíîâó êîòîðûõ ïîëîæåí ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüíèê.) Ýøåð èñïîëüçîâàë áàçîâûå îáðàçöû ìîçàèê, ïðèìåíÿÿ ê íèì òðàíñôîðìàöèè, êîòîðûå â ãåîìåòðèè íàçûâàþòñÿ ñèììåòðèåé, îòðàæåíèå, ñìåùåíèå è äð. Òàêæå îí èñêàçèë áàçîâûå ôèãóðû, ïðåâðàòèâ èõ â æèâîòíûõ, ïòèö, ÿùåðèö è ïðî÷. Ýòè èñêàæåííûå îáðàçöû ìîçàèê èìåëè òðåõ-, ÷åòûðåõ- è øåñòèíàïðàâëåííóþ ñèììåòðèþ, òàêèì îáðàçîì ñîõðàíÿÿ ñâîéñòâî çàïîëíåíèÿ ïëîñêîñòè áåç ïåðåêðûòèé è ùåëåé.

     ãðàâþðå "Ðåïòèëèè" ìàëåíüêèå êðîêîäèëû èãðàþ÷è âûðûâàþòñÿ èç òþðüìû äâóõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ñòîëà, ïðîõîäÿò êðóãîì, ÷òîáû ñíîâà ïðåâðàòèòüñÿ â äâóõìåðíûå ôèãóðû. Ìîçàèêó ðåïòèëèé Ýøåð èñïîëüçîâàë âî ìíîãèõ ñâîèõ ðàáîòàõ.  "Ýâîëþöèè 1" ìîæíî ïðîñëåäèòü ðàçâèòèå èñêàæåíèÿ êâàäðàòíîé ìîçàèêè â öåíòðàëüíóþ ôèãóðó èç ÷åòûðåõ ÿùåðèö.

    Ïðàâèëüíûå ãåîìåòðè÷åñêèå òåëà - ìíîãîãðàííèêè - èìåëè îñîáîå î÷àðîâàíèå äëÿ Ýøåðà. Âî åãî ìíîãèõ ðàáîòàõ ìíîãîãðàííèêè ÿâëÿþòñÿ ãëàâíîé ôèãóðîé è â åùå áîëüøåì êîëè÷åñòâå ðàáîò îíè âñòðå÷àþòñÿ â êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ñóùåñòâóåò ëèøü ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, òî åñòü òàêèõ òåë, âñå ãðàíè êîòîðûõ ñîñòîÿò èç îäíàêîâûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Îíè åùå íàçûâàþòñÿ òåëàìè Ïëàòîíà. Ýòî - òåòðàýäð, ãðàíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ÷åòûðå ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêà, êóá ñ øåñòüþ êâàäðàòíûìè ãðàíÿìè, îêòàýäð, èìåþùèé âîñåìü òðåóãîëüíûõ ãðàíåé, äîäåêàýäð, ãðàíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ äâåíàäöàòü ïðàâèëüíûõ ïÿòèóãîëüíèêîâ, è èêîñàýäð ñ äâàäöàòüþ òðåóãîëüíûìè ãðàíÿìè. Íà ãðàâþðå "×åòûðå òåëà" Ýøåð èçîáðàçèë ïåðåñå÷åíèå îñíîâíûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäíîé îñè ñèììåòðèè, êðîìå ýòîãî ìíîãîãðàííèêè âûãëÿäÿò ïîëóïðîçðà÷íûìè, è ñêâîçü ëþáîé èç íèõ ìîæíî óâèäåòü îñòàëüíûå.

    Áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî îáúåäèíåíèåì ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, à òàêæå ïðåâðàùåíèåì ìíîãîãðàííèêà â çâåçäó. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ìíîãîãðàííèêà â çâåçäó íåîáõîäèìî çàìåíèòü êàæäóþ åãî ãðàíü ïèðàìèäîé, îñíîâàíèåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ãðàíü ìíîãîãðàííèêà. Èçÿùíûé ïðèìåð çâåçä÷àòîãî äîäåêàýäðà ìîæíî íàéòè â ðàáîòå "Ïîðÿäîê è õàîñ".  äàííîì ñëó÷àå çâåçä÷àòûé ìíîãîãðàííèê ïîìåùåí âíóòðü ñòåêëÿííîé ñôåðû. Àñêåòè÷íàÿ êðàñîòà ýòîé êîíñòðóêöèè êîíòðàñòèðóåò ñ áåñïîðÿäî÷íî ðàçáðîñàííûì ïî ñòîëó ìóñîðîì. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî àíàëèçèðóÿ êàðòèíó ìîæíî äîãàäàòüñÿ î ïðèðîäå èñòî÷íèêà ñâåòà äëÿ âñåé êîìïîçèöèè - ýòî îêíî, êîòîðîå îòðàæàåòñÿ ëåâîé âåðõíåé ÷àñòè ñôåðû.

    Ôèãóðû, ïîëó÷åííûå îáúåäèíåíèåì ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, ìîæíî âñòðåòèòü âî ìíîãèõ ðàáîòàõ Ýøåðà. Íàèáîëåå èíòåðåñíîé ñðåäè íèõ ÿâëÿåòñÿ ãðàâþðà "Çâåçäû", íà êîòîðîé ìîæíî óâèäåòü òåëà, ïîëó÷åííûå îáúåäèíåíèåì òåòðàýäðîâ, êóáîâ è îêòàýäðîâ. Åñëè áû Ýøåð èçîáðàçèë â äàííîé ðàáîòå ëèøü ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ìíîãîãðàííèêîâ, ìû íèêîãäà áû íå óçíàëè î íåé. Íî îí ïî êàêîé-òî ïðè÷èíå ïîìåñòèë âíóòðü öåíòðàëüíîé ôèãóðû õàìåëåîíîâ, ÷òîáû çàòðóäíèòü íàì âîñïðèÿòèå âñåé ôèãóðû. Òàêèì картины нарисованные нашего времени îáðàçîì íàì íåîáõîäèìî îòâëå÷üñÿ îò ïðèâû÷íîãî âîñïðèÿòèÿ êàðòèíû è ïîïûòàòüñÿ âçãëÿíóòü íà íåå ñâåæèì âçîðîì, ÷òîáû ïðåäñòàâèòü åå öåëèêîì. Ýòîò àñïåêò äàííîé êàðòèíû ÿâëÿåòñÿ åùå îäíèì ïðåäìåòîì âîñõèùåíèÿ ìàòåìàòèêîâ òâîð÷åñòâîì Ýøåðà.

    Ñðåäè íàèáîëåå âàæíûõ ðàáîò Ýøåðà ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êàðòèíû, îïåðèðóþùèå ñ ïðèðîäîé ñàìîãî ïðîñòðàíñòâà. Ëèòîãðàôèÿ "Òðè ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè" - õîðîøèé ïðèìåð äëÿ íà÷àëà îáçîðà òàêèõ êàðòèí. Ýòîò ïðèìåð äåìîíñòðèðóåò èíòåðåñ õóäîæíèêà ê ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà è ñïîñîáíîñòü ìîçãà ðàñïîçíàâàòü òðåõìåðíûå èçîáðàæåíèÿ íà äâóõìåðíûõ ðèñóíêàõ. Êàê áóäåò íèæå, Ýøåð ïîçæå èñïîëüçîâàë äàííûé ïðèíöèï äëÿ ñîçäàíèÿ èçóìèòåëüíûõ âèçóàëüíûõ ýôôåêòîâ.

    Ïîä âëèÿíèåì ðèñóíêîâ â êíèãå ìàòåìàòèêà Õ. Êîêñåòåðà Ýøåð ñîçäàë ìíîãî èëëþñòðàöèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Îäèí èç ïðèìåðîâ ìîæíî óâèäåòü â ðàáîòå "Ïðåäåë êðóãà III". Çäåñü ïðåäñòàâëåí îäèí èç äâóõ âèäîâ íååâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà, îïèñàííûõ ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ïóàíêàðå. ×òîáû ïîíÿòü îñîáåííîñòè ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, ïðåäñòàâüòå, ÷òî âû íàõîäèòåñü âíóòðè ñàìîé êàðòèíû. Ïî ìåðå âàøåãî ïåðåìåùåíèÿ îò öåíòðà êðóãà ê åãî ãðàíèöå âàø ðîñò áóäåò óìåíüøàòüñÿ òàêæå, êàê óìåíüøàþòñÿ ðûáû íà äàííîé êàðòèíå. Òàêèì îáðàçîì ïóòü, êîòîðûé âàì íàäî áóäåò ïðîéòè äî ãðàíèöû êðóãà áóäåò êàçàòüñÿ âàì áåñêîíå÷íûì. Íà ñàìîì äåëå, íàõîäÿñü â òàêîì ïðîñòàðíñòâå âû íà ïåðâûé âçãëÿä íå çàìåòèòå íè÷åãî íåîáû÷íîãî â íåì ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Íàïðèìåð, ÷òîáû äîñòè÷ü ãðàíèö åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà âàì òàêæå íåîáõîäèìî ïðîéòè áåñêîíå÷íûé ïóòü. Îäíàêî, åñëè âíèìàòåëüíî ïðèñìîòðåòüñÿ, òî ìîæíî áóäåò çàìåòèòü íåêîòîðûå îòëè÷èÿ, íàïðèìåð, âñå ïîäîáíûå òðåóãîëüíèêè èìåþò â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îäèíàêîâûé ðàçìåð, è âû íå ñìîæåòå òàì íàðèñîâàòü ôèãóðû ñ ÷åòûðüìÿ ïðÿìûìè óãëàìè, ñîåäèíåííûìè ïðÿìûìè ëèíèÿìè, òàê êàê â ýòîì ïðîñòðàíñòâå íå ñóùåñòâóåò êâàäðàòîâ è ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ñòðàííîå ìåñòî, íå ïðàâäà ëè?

    Åùå áîëåå ñòðàííîå ïðîñòðàíñòâî ïîêàçàíî â ðàáîòå "Çìåè". Çäåñü ïðîñòðàíñòâî óõîäèò â áåñêîíå÷íîñòü â îáå ñòîðîíû - è â ñòîðîíó êðàÿ îêðóæíîñòè è â ñòîðîíó öåíòðà îêðóæíîñòè, ÷òî ïîêàçàíî óìåíüøàþùèìèñÿ êîëüöàìè. Åñëè âû ïîïàäåòå â òàêîå ïðîñòðàíñòâî, íà ÷òî îíî áóäåò ïîõîæå?

    Êðîìå îñîáåííîñòåé åâêëèäîâîé è íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèé Ýøåðà èíòåðåñîâàëè âèçóàëüíûå àñïåêòû òîïîëîãèè. Òîïîëîãèÿ èçó÷àåò ñâîéñòâà òåë è ïîâåðõíîñòåé ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå íå èçìåíÿþòñÿ ïðè äåôîðìàöèè, íàïðèìåð,  ðàñòÿæåíèè, ñæàòèè èëè èçãèáå. Åäèíñòâåííîå, ê ÷åìó íå äîëæíà ïðèâîäèòü äåôîðìàöèÿ - ýòî ê ðàçðûâó. Òîïîëîãàì ïðèõîäèòñÿ èçîáðàæàòü ìíîæåñòâî ñòðàííûõ îáúåêòîâ. Îäíèì èç íàèáîëåå èçâåñòíûõ ÿâëÿåòñÿ ëåíòà Ìåáèóñà, êîòîðàÿ âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ ðàáîòàõ Ýøåðà. Ýòî ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííûì, íî ó ýòîé ïîâåðõíîñòè åñòü òîëüêî îäíà ñòîðîíà è îäíà êðîìêà. Åñëè âû ïðîñëåäèòå ïóòü ìóðàâüåâ íà ëèòîãðàôèè "Ëåíòà Ìåáèóñà II", òî óâèäèòå, ÷òî ìóðàâüè ïîëçóò íå ïî ïðîòèâîïîëîæíûì ïîâåðõíîñòÿì ëåíòû, à ïî îäíîé è òîé æå. Ñäåëàòü ëèñò Ìåáèóñà î÷åíü ïðîñòî. Íàäî âçÿòü ïîëîñêó áóìàãè, èçîãíóòü åå, è ñêëåèòü ïðîòèâîïîëîæíûå êðàÿ ëåíòû êëååì. Êàê âû äóìàåòå, ÷òî ñëó÷èòñÿ, åñëè ðàçðåçàòü ëèñò Ìåáèóñà âäîëü?

    Äðóãàÿ èíòåðåñíàÿ ëèòîãðàôèÿ íàçàâàåòñÿ "Êàðòèííàÿ ãàëåðåÿ", â êîòîðîé èçìåíåíû îäíîâðåìåííî è òîïîëîãèÿ è ëîãèêà ïðîñòðàíñòâà. Ìû âèäèì ìàëü÷èêà, êîòîðûé ñìîòðèò íà êàðòèíó, íà êîòîðîé íàðèñîâàí ïðèìîðñêèé ãîðîä ñ ìàãàçèíîì íà áåðåãó, à â ìàãàçèíå - êàðòèííàÿ ãàëåðåÿ, à â ãàëåðåå ñòîèò ìàëü÷èê, êîòîðûé ñìîòðèò íà êàðòèíó, íà êîòîðîé íàðèñîâàí ïðèìîðñêèé ãîðîä... ñòîï! ×òî-òî íå òàê...

        

    Äëÿ ïîíèìàíèÿ ëþáîé êàðòèíû Ýøåðà òðåáóåòñÿ âíèìàíèå è íàáëþäàòåëüíîñòü, à ýòà ðàáîòà òðåáóåò îñîáîãî âíèìàíèÿ. Êàêèì-òî îáðàçîì Ýøåð çàâåðíóòü ïðîñòðàíñòâî â êîëüöî, è ïîëó÷èëîñü, ÷òî ìàëü÷èê íàõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî âíóòðè êàðòèíû è âíå åå. Ñåêðåò ýòîãî ýôôåêòà ñîñòîèò â òîì, êàêèì îáðàçîì ïðåîáðàçîâàíî èçîáðàæåíèå. Ïîíÿòü ýòî ìîæíî, àíàëèçèðóÿ êàðàíäàøíûé íàáðîñîê ñåòêè, êîòîðûì ïîëüçîâàëñÿ Ýøåð ïðè ñîçäàíèè êàðòèíû. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíèÿìè ñåòêè óâåëè÷èâàåòñÿ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ñòðåëêè ÷àñîâ. Çàìåòèì åùå, íà ÷åì îñíîâàíà õèòðîñòü êàðòèíû - áåëîå ïÿòíî â öåíòðå. Ìàòåìàòèêè íàçûâàþò ýòî ïÿòíî îñîáûì ìåñòîì èëè îñîáîé òî÷êîé, ãäå ïðîñòðàíñòâà íå ñóùåñòâóåò. Íå ñóùåñòâóåò ñïîñîáà èçîáðàçèòü ýòîò ó÷àñòîê êàðòèíû áåç øâîâ èëè íàëîæåíèé, ïîýòîìó Ýøåð ðåøèë ýòó ïðîáëåìó, ïîìåñòèâ â öåíòð êàðòèíû ñâîé àâòîãðàô.

    Ïîä "ëîãèêîé" ïðîñòðàíñòâà ìû ïîíèìàåì òå îòíîøåíèÿ ìåæäó ôèçè÷åñêèìè îáúåêòàìè, êîòîðûå îáû÷íû äëÿ ðåàëüíîãî ìèðà, è ïðè íàðóøåíèè êîòîðûõ âîçíèêàþò âèçóàëüíûå ïàðàäîêñû, íàçûâàåìûå åùå îïòè÷åñêèìè èëëþçèÿìè. Áîëüøèíñòâî õóäîæíèêîâ, ýêñïåðèìåíòèðóþùèå ñ ëîãèêîé ïðîñòðàíñòâà, èçìåíÿþò ýòè îòíîøåíèÿ ìåæäó îáúåêòàìè, îñíîâûâàÿñü íà ñâîåé èíòóèöèè, êàê, íàïðèìåð, Ïèêàññî.

    Ýøåð ïîíèìàë, ÷òî ãåîìåòðèÿ îïðåäåëÿåò ëîãèêó ïðîñòðàíñòâà, íî è ëîãèêà ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëÿåò ãåîìåòðèþ. Îäíà èç íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûé îñîáåííîñòåé ëîãèêè ïðîñòðàíñòâà - èãðà ñâåòà è òåíè íà âûïóêëûõ è âîãíóòûõ îáúåêòàõ. Íà ëèòîãðàôèè "Êóá ñ ïîëîñêàìè" âûñòóïû íà ëåíòàõ ÿâëÿþòñÿ âèçóàëüíûì îðèåíòèðîì òîãî, êàê ðàñïîëîæåíû ïîëîñêè â ïðîñòðàíñòâå è êàê îíè ïåðåïëåòàþòñÿ ñ êóáîì. È åñëè âû âåðèòå ñâîèì ãëàçàì, òî âû íèêîãäà íå ïîâåðèòå òîìó, ÷òî íàðèñîâàíî íà ýòîé êàðòèíå.

    Åùå îäèí èç àñïåêòîâ ëîãèêè ïðîñòðàíñòâà - ïåðñïåêòèâà. Íà ðèñóíêàõ, â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóåò ýôôåêò ïåðñïåêòèâû, âûäåëÿþò òàê íàçûâàåìûå òî÷êè èñ÷åçíîâåíèÿ, êîòîðûå ñîîáùàþò ãëàçó ÷åëîâåêà î áåñêîíå÷íîñòè ïðîñòðàíñòâà.  Èçó÷åíèå îñîáåííîñòåé ïåðñïåêòèâû íà÷àëîñü åùå âî âðåìåíà âîçðîæäåíèÿ õóäîæíèêàìè Àëüáåðòè, Äèçàðãîì è ìíîãèìè äðóãèìè. Èõ íàáëþäåíèÿ è âûâîäû ëåãëè â îñíîâó ñîâðåìåííîé ãåîìåòðèè ïðîåêöèé.

    Ââîäÿ äîïîëíèòåëüíûå òî÷êè èñ÷åçíîâåíèÿ è íåìíîãî èçìåíÿÿ ýëåìåíòû êîìïîçèöèè äëÿ äîñòèæåíèÿ íóæíîãî ýôôåêòà, Ýøåð ñìîã èçîáðàçèòü êàðòèíû, â êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ îðèåíòàöèÿ ýëåìåíòîâ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê çðèòåëü ñìîòðèò íà êàðòèíó. Íà êàðòèíå "Câåðõó è cíèçó" õóäîæíèê ðàçìåñòèë ñðàçó ïÿòü òî÷åê èñ÷åçíîâåíèÿ - ïî óãëàì êàðòèíû è â öåíòðå.  ðåçóëüòàòå, åñëè ìû ñìîòðèì íà íèæíþþ ÷àñòü êàðòèíû, òî ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî ìû ñìîòðèì ââåðõ. Åñëè æå îáðàòèòü âçãëÿä íà âåðõíþþ ïîëîâèíó êàðòèíó, òî êàæåòñÿ, ÷òî ìû ñìîòðèì âíèç. ×òîáû ïîä÷åðêíóòü ýòîò ýôôåêò, Ýøåð èçîáðàçèë äâà âèäà îäíîé è òîé æå êîìïîçèöèè.

    Òðåòèé òèï êàðòèí ñ íàðóøåííîé ëîãèêîé ïðîñòðàíñòâà - ýòî "íåâîçìîæíûå ôèãóðû". Ïàðàäîêñ íåâîçìîæíûõ ôèãóð îñíîâàí íà òîì, ÷òî íàø ìîçã âñåãäà ïûòàåòñÿ ïðåäñòàâèòü íàðèñîâàííûå íà áóìàãå äâóõìåðíûå ðèñóíêè êàê òðåõìåðíûå. Ýøåð ñîçäàë ìíîãî ðàáîò, â êîòîðûõ îáðàòèëñÿ ê ýòîé àíîìàëèè. Íàèáîëåå èíòåðåñíàÿ ðàáîòà - ëèòîãðàôèÿ "Âîäîïàä" - îñíîâàíà íà ôèãóðå íåâîçìîæíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðèäóìàííîãî ìàòåìàòèêîì Ðîäæåðîì Ïåíðîóçîì.  ýòîé ðàáîòå äâà íåâîçìîæíûõ òðåóãîëüíèêà ñîåäèíåíû â åäèíóþ íåâîçìîæíóþ ôèãóðó. Ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî âîäîïàä ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé ñèñòåìîé, ðàáîòàþùåé ïî òèïó âå÷íîãî äâèãàòåëÿ, íàðóøàÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. (Ïðèìå÷àíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ìíîãîãðàííèêè, óñòàíîâëåííûå íà áàøíÿõ âîäîïàäà.)

    Ñàìîâîñïðîèçâåäåíèå è èíôîðìàöèÿ

     çàêëþ÷åíèå ìû ðàññìîòðèì àñïåêòû òâîð÷åñòâà Ýøåðà, îòíîñÿùèåñÿ ê òåîðèè èíôîðìàöèè è èñêóññòâåííîìó èíòåëëåêòó. Ýòà îáëàñòü òâîð÷åñòâà õóäîæíèêà øèðîêî îñâåùåíà âî ìíîãèõ ñòàòüÿõ è êíèãàõ. Íàèáîëåå ïîëíîå èññëåäîâàíèå ýòîãî âîïðîñà îñâåùåíî â êíèãå Äóãëàñà Õîôñòàäòåðà (Douglas R. Hofstadter) "øäåëü, Ýøåð, Áàõ: Áåñêîíå÷íàÿ çîëîòàÿ íèòü" (Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid), âûïóùåííîé â 1980 ãîäó è íàãðàæäåííîé ïóëèòöåðîâñêîé ïðåìèåé.

    Öåíòðàëüíàÿ èäåÿ ñàìîâîñïðîèçâåäåíèÿ, âçÿòàÿ íà âîîðóæåíèå Ýøåðîì, îáðàùàåòñÿ ê çàãàäêå ÷åëîâå÷åñêîãî ñîçíàíèÿ è ñïîñîáíîñòè ÷åëîâå÷åñêîãî ìîçãà îáðàáàòûâàòü èíôîðìàöèþ òàê, êàê íå ñìîæåò îáðàáîòàòü íè îäèí êîìïüþòåð. Ëèòîãðàôèè "Ðèñóþùèå ðóêè" è "Ðûáû è ÷åøóéêè" èñïîëüçóþò ýòó èäåþ ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Ñàìîâîñïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåííûì äåéñòâèåì. Ðóêè ðèñóþò äðóã äðóãà, ñîçäàâàÿ ñàìèõ ñåáÿ. Ïðè ýòîì ñàìè ðóêè è ïðîöåññ èõ ñàìîâîñïðîèçâåäåíèÿ íåðàçäåëèìû.  ðàáîòå "Ðûáû è ÷åøóéêè" êîíöåïöèÿ ñàìîâîñïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíà áîëåå ôóíêöèîíàëüíî, è â äàííîì ñëó÷àå îíà ìîæåò áûòü íàçâàíà ñàìîïîäîáèåì.  ýòîì ñìûñëå äàííàÿ ðàáîòà îïèñûâàåò íå òîëüêî ðûá, à âñå æèâûå îðãàíèçìû, â òîì ÷èñëå è ÷åëîâåêà. Êîíå÷íî, ìû íå ñîñòîèò èç óìåíüøåííûõ êîïèé ñàìèõ ñåáÿ, íî êàæäàÿ êëåòêà íàøåãî òåëà íåñåò â ñåáå èíôîðìàöèþ îáî âñåì òåëå â âèäå ÄÍÊ.

    Óãëóáëÿÿñü â èçó÷åíèå ñàìîâîñïðîèçâåäåíèÿ, ìîæíî åãî îáíàðóæèòü â îòðàæåíèè è ïåðåñå÷åíèè îòðàæåíèé ðåàëüíîãî ìèðà. Òàêîå ïåðåñå÷åíèå âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ êàðòèíàõ Ýøåðà. Ìû ðàññìîòðèì ëèøü îäèí ïðèìåð - ëèòîãðàôèþ "Òðè ñôåðû", íà êîòîðîé ïðèñóòñòâóþò òðè øàðîâèäíûõ òåëà, ñäåëàííûõ èç ðàçíûõ ìàòåðèàëîâ ñ ðàçëè÷íîé îòðàæàþùåé ñïîñîáíîñòüþ. Ýòè ñôåðû îòðàæàþò äðóã äðóãà è õóäîæíèêà, è êîìíàòó, â êîòîðîé îí ðàáîòàåò, è ëèñò áóìàãè, íà êîòîðîì îí ðèñóåò ñôåðû. Õîôñòàäòåð â ñâîåé êíèãå íàïèñàë "... êàæäàÿ ÷àñòèöà ìèðà ñîäåðæèò â ñåáå âåñü ìèð è ñîäåðæèòñÿ ê âî âñåõ äðóãèõ ÷àñòèöàõ ìèðà...".

    Òàêèì îáðàçîì, ìû çàêàí÷èâàåì òåì æå, ñ ÷åãî íà÷àëè, - àâòîïîðòðåòîì õóäîæíèêà - åãî îòðàæåíèåì â ñâîåé ðàáîòå.

    Ìû ðàññìîòðåëè ëèøü íåáîëüøóþ ÷àñòü ðàáîò èç ñîòåí íàáðîñêîâ è ëèòîãðàôèé è ãðàâþð, îñòàâøèõñÿ ïîñëå ñìåðòè Ýøåðà â 1972 ãîäó. Åùå ìíîãîå áóäåò ñêàçàíî è óæå ñêàçàíî î çíà÷åíèè è âàæíîñòè åãî ðàáîò. Ñ êàæäûì ãîäîì ïîÿâëÿåòñÿ âñå áîëüøå è áîëüøå êíèã, ãäå îñâåùàåòñÿ òâîð÷åñòâî õóäîæíèêà, àíàëèçèðóþòñÿ ðàçëè÷íûå àñïåêòû åãî òâîð÷åñòâà. Íàäååìñÿ, ÷òî ìû çàèíòåðåñîâàëè âàñ òâîð÷åñòâîì Ýøåðà.

    Àíãëîÿçû÷íûé èñòî÷íèê ñòàòüè ìîæíî íàéòè
    http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/

    Ïåðåâîä Âëàäà Àëåêñååâà.

    Ñïèðàëè

    Ñòðàííî, íî â îðèãèíàëüíîé ðàáîòå îáîøëè âíèìàíèåì öåëûé êëàññ ôèãóð, êîòîðûå äîñòàòî÷íî ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â ðàáîòàõ Ýøåðà. Ýòî çàêðó÷åííûå â ñïèðàëè ôèãóðû.  ðàáîòå "Ñïèðàëè" ìû âèäèì ÷åòûðå çàêðó÷èâàþùèåñÿ â ñïèðàëü ïîëîñêè, êîòîðûå ïîñòîÿííî ñáëèæàþòñÿ è ïîñòåïåííî çàêðó÷èâàþòñÿ ñàìè â ñåáÿ, îáðàçóÿ ñâîåîáðàçíûé òîð. Ïðîéäÿ öåëûé êðóã, ñïèðàëü çàõîäèò âíóòðü ñàìîé ñåáÿ, îáðàçóÿ òåì ñàìûì, êàê áû, ñïèðàëü âòîðîãî ïîðÿäêà - ñïèðàëü â ñïèðàëè.

     ðàáîòå "Âîäîâîðîòû" Ýøåð îáúåäèíèë ñïèðàëåâèäíóþ ôîðìó è ñâîé èçëþáëåííûé õóäîæåñòâåííûé ïðèåì - ðåãóëÿðíîå ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè (èëè ìîçàèêó). Çäåñü ðûáû,âûïëûâ èç îäíîãî âîäîâîðîòà, ïîïàäàþò âî âòîðîé è, ïîãðóæàñü â íåãî, ïîñòåïåííî óìåíüøàþòñÿ â ðàçìåðàõ è íàêîíåö ñîâñåì èñ÷åçàþò. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïîñòåïåííî óìåíüøàþùóþñÿ â ðàçìåðàõ ìîçàèêó. Åñëè ìûñëåííî ðàçâåðíóòü ñïèðàëü, òî ìû óâèäèì ëèøü äâà ðÿäà ðûá, ïëûâóùèõ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. Íî ñêðó÷åííûå â ñïèðàëü è ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì äåôîðìèðîâàííûå îáðàçû ðûá ïîëíîñòüþ ïîêðûâàþò íåêîòîðóþ îáëàñòü áåñêîíå÷íîé ïëîñêîñòè.

    Èíîé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ñïèðàëè èñïîëüçîâàí â ðàáîòå "Ñôåðè÷åñêèå ñïèðàëè", ãäå ÷åòûðå ïîëîñû ðàñïîëîæåíû íà ïîâåðõíîñòè øàðà, ïðîõîäÿ îò îäíîãî ïîëþñà øàðà ê äðóãîìó. Ïîõîæèé ïóòü ìîæåò ïðîéòè ñàìîëåò, ëåòÿùèé ñ ñåâåðíîãî ïîëþñà çåìíîãî øàðà íà þæíûé.

    Çäåñü ìû ïðèâåëè îñíîâíûå âèäû ñïèðàëåé, èñïîëüçîâàííûõ Ýøåðîì â ñâîèõ ðàáîòàõ. Ðàçëè÷íûå èõ ìîäèôèêàöèè ìîæíî îáíàðóæèòü è íà ìíîãèõ äðóãèõ ëèòîãðàôèÿõ õóäîæíèêà.

    Çàêëþ÷åíèå 2

    Èñïîëüçîâàíèå Ýøåðîì ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôèãóð è çàêîíîâ íå îãðàíè÷èâàåòñÿ ëèøü âûøåïðèâåäåííûìè ïðèìåðàìè. Âíèìàòåëüíî èçó÷àÿ åãî êàðòèíû, ìîæíî îáíàðóæèòü è äðóãèå, íå óïîìÿíóòûå â äàííîé ñòàòüå, ãåîìåòðè÷åñêèå òåëà èëè âèçóàëüíóþ èíòåðïðåòàöèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàêîíîâ.

    Çàêîí÷èòü õîòåëîñü áû êàðòèíîé "Óçëû", èçîáðàæàþùåé çàìêíóòûå ôèãóðû, êîòîðûå íåëüçÿ îòíåñòè ê êàêîìó-ëèáî ðàçäåëó äàííîé ñòàòüè.

    Âëàä Àëåêñååâ.

    Áîëüøå îá Ì. Ê. Ýøåðå âû ìîæåòå óçíàòü íà ñàéòàõ
    http://www.worldofescher.com
    http://www.mcescher.com


    Источник: http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html



    Рекомендуем посмотреть ещё:


    Закрыть ... [X]

    Кодирование от лишнего веса - принципы, противопоказания и отзывы Открытка руками ребенка мастер класс

    Картины нарисованные нашего времени Картины нарисованные нашего времени Картины нарисованные нашего времени Картины нарисованные нашего времени Картины нарисованные нашего времени Картины нарисованные нашего времени

    ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ